2. Dezember 1985

(Thema: Die Winkelhalbierenden im Dreieck III und Auftrieb I)
# Martin Wagenschein
* Seminarteilnehmer
- weitere Seminarteilnehmer in derselben Runde
() redaktionelle Kommentare

(Zu Beginn wurde die Arbeit eines dreizehnjährigen Mädchens verlesen, das einen Text, frei von mathematischen Fachausdrücken, zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden verfasst hatte; die Lehrerin hatte bewusst auf Fachausdrücke verzichtet. Von daher kam die Rede auf die Notwendigkeit oder Unnötigkeit von Fachausdrücken. Alexander Israel Wittenberg fordert in seinem Buch "Bildung und Mathematik" den vorläufigen Verzicht auf Fachausdrücke. Sie stehen in der Geschichte am Ende eines Gedankens, der begriffen wurde, und für den wurden Begriffe gesucht, um ihn zu beschreiben. Da es beim einzelnen Menschen wohl ähnlich wie in der Geschichte abläuft, muss er erst verstehen, was es ist und danach erst einen Namen geben. Wenn man einen Namen hat, ist die Verständigung unter "Wissenden" leichter.)

* In Schulbüchern stehen die Fachausdrücke oft am Anfang, damit man auch weiß, von was man spricht, nicht in böser Absicht, zum Beispiel fängt die Physik oft mit dem Begriff des Massenpunkts an. Die Leute können sich nicht mehr vorstellen, ohne diesen Begriff auszukommen.

# Als ich Schulkind war, hat es mich sehr befremdet, wenn da eine Figur gezeichnet war, und ehe es überhaupt losging, hat der die bepflastert mit a, A, b, B; erschien mir, wie wenn man eine Landschaft ansieht, die plötzlich vom Militär besetzt wird. Es kommt darauf an, wovon man ausgeht, von dem was zuerst oder von dem was zuletzt da ist.

* Beim Dreieck und den Winkelhalbierenden artet es in eine algebraische Operation aus, wenn ich am Anfang gleich mit den Fachausdrücken operiere. Jedesmal, wenn ich von dem Gegenstand spreche, muss ich ihn wieder neu beschreiben, sonst ist es ähnlich wie beim Fernsehen, man sieht die Dinge dort und glaubt sie dann wirklich zu kennen.

# Nichts gegen Fachausdrücke, scheinen ganz unvermeidlich zu sein, aber nur im internen Gespräch. Ein persönlich bekannter Didaktiker (Raebiger) schrieb ein Buch für Kinder, Versuche, die man machen kann, ganz ohne Fachausdrücke. Wurde vom Ministerium abgelehnt, das sei populär, nicht Wissenschaft. Die haben wohl die Definition, was man nicht verstehen kann, das ist Wissenschaft ...
Es ist schwer zu verstehen, ich verstehe es am besten, wenn ich mir zwei Winkel hinlege, unten. Dann sieht man doch, dass die Winkelhalbierende links von ihren Schenkeln gleich weit weg ist, die andere (rechts) von diesen beiden Schenkeln, und da einer beiden gemeinsam ist, daraus folgt, dass der Schnittpunkt von allen Seiten gleich weit weg ist. Der dritte Punkt, der stört nur am Anfang, ich würde am Anfang nur die beiden Seitenlinien ausführen. Wenn man dann zum dritten Punkt verbindet, kommt die überraschende Einsicht, dass die da durch muss, es war ja vorher schon klar, dass er von allen dreien gleich weit weg ist (der Schnittpunkt).

* Bei der fertigen Figur ist alles schon da, man kann nur noch sagen: "Es stimmt." An Denkweg ist nichts mehr zurückzulegen.

# Was hat das Ganze für einen Sinn, solche Probleme zu lösen? In welchem Alter, ist eine andere Frage. Gelungen ist eine solche Aktion nur dann, wenn der Lernende "ach so" sagt, anfangs sagt er, vor der Lösung, "nanu?".

* Ich denke, wenn man es so aufschreiben kann, hat man schon 'ach so' gesagt. Allein die Tatsache, dass einem etwas Schwieriges völlig klar werden kann, ist schon die Sache wert; das hängt nicht vom Gegenstand ab, das ist schon genügend Motivation.

# Es gibt natürlich aufregendere Dinge. Warum das eiserne Schiff schwimmt und das Sandkorn untergeht, ist schon ergreifender. Oder wenn das Wasser aus dem Glas rausgeht, das gehört sich einfach nicht. Und davon sind die Kinder ernsthaft betroffen, weil es einfach ihre Gewohnheiten stört, ihre Sicherheit. Kinder sind durchaus für Ordnung und wünschen, dass nichts stört. Momentan aufregendes darf geschehen, aber nichts dauernd aufregendes, also nichts 'immer wieder' sonderbares.
Ich ziehe das Wort 'sonderbar' vor vor 'seltsam', denn 'selten' sind diese Sachen ja nicht, sie sind 'immer', deswegen muss ich sagen, sie 'sondern' sich ab. Galilei sagte wundern, weiß nicht, wie's auf italienisch heißt, miracoli wahrscheinlich ...
Warum ist man dann zufrieden, wenn man es bewiesen hat? Das Wunder ist doch dann aus, wenn man "ach so" sagt, ist das Wunder vorbei.

* Die Vorfreude auf das nächste Wunder.
- Wenn man nachvollziehen kann, dass die Winkelhalbierenden sich in einem Punkt treffen, ist das schon erfreulich, erstaunlich ist es nach wie vor, ich weiß nicht, ob das Wunder dann vorbei ist. Auch wenn man nachweisen kann, dass dies so ist, ist es immer noch total verblüffend, dass die da durchgehen muss, könnte auch kreuz und quer gehen.

# Merkwürdig, dass es innerhalb der Figuren ein 'Muss' gibt, sonst gibt es das nur bei Menschen.

* Vielleicht ist es für Kinder befriedigend, dass sich die sonderbarsten Dinge in eine Ordnung fügen.
- Das ist ein stärkeres Muss als ein Befehl, einem Befehl kann man sich widersetzen, den Winkelhalbierenden bleibt nichts anderes übrig.

# Ich hab immer noch nicht raus, warum man beruhigt ist.

* Man kann doch seine Stärke feststellen, gerade dem sich zu widersetzen, was die Dinge nicht können. Als Mensch bin ich mächtiger als diese Winkelhalbierenden, die Winkelhalbierenden müssen zusammen.
- Wenn ich ein Dreieck zeichne, ist das mächtiger als ich, die Winkelhalbierenden zwingen mich, sie immer so zu zeichnen, ich muss den Gesetzen des Dreiecks gehorchen.

# Was ist an dem Ergebnis, das ist unabhängig von der Art, wie man es gekriegt hat, so seltsam?

* Ein Machtgefühl, ich bin in der Lage, diese Konstruktion zu beherrschen, mit diesem 'ach so' bin ich in der Lage, über diese Konstruktion zu verfügen.

# Ich bin überhaupt in keiner Lage, ich finde diese Lage vor, ich muss, es muss, dazu muss ich mich verleiten lassen.

* Es ist für mich ein persönlicher Gewinn, ich freu mich, dass ich es verstanden hab, das Wundern ist weg, fasziniert mich immer noch.

# Finden Sie, dass das Wunder ganz weg ist?

* Nein.
- Ich finde, dass sich das Wunder verschiebt von dem speziellen Punkt zu dem Dreieck. Was ist das denn für ein Gebilde, das solchen Gesetzen gehorcht, dann wundere ich mich über tiefere Sachen, zum Beispiel, dass alles, was sich Dreieck nennt, so eine Eigenschaft hat,
- ... dass nur zwei Punkte nötig sind, um eine Gerade festzulegen ...
- Bei mir verschiebt sich das Wundern dann von Hölzchen auf Stöckchen.
- Ich wundere mich dann echt über andere Sachen.

# Worüber wundern Sie sich jetzt, oder gerade erst recht? Das ganze ist verschoben?

* Ja, über das Dreieck, die Geraden, die Punkte, über die Eigenschaften dieser Objekte.

# Vielleicht ist dieser eine Satz nicht ganz ausreichend, um das Wundern zu verschieben, aber nehmen Sie an, dass man mehrere solcher Geschichten entwickelt.
Beispiel: Kreis, Sehne außen rum: Klappt. Auch das lässt sich total aufklären, schon wieder ein Wunder hin, aber ein anderes erscheint. Wenn das nicht erscheint, ist der ganze Geometrieunterricht Unfug, oder Gehirnschliff. In der Welt der Figuren, ich sage aller Figuren, die man so hat, ist diese Ordnung nicht bloß beim Dreieck vorhanden, sondern durchgehend.
(Vergleich Technik - philosophische Betrachtungsweise. Begriff Meta-Mathematik.)

# Es ist noch nicht klar, ob der Satz stimmt, genau stimmt. Einwand "mach doch eine Zeichnung, dann siehst du, dass es nicht genau stimmt, dass es von den Werkzeugen abhängt".
Da ist doch nichts dagegen zu sagen.

* Das ist mir bei den Strichen das letzte Mal schon aufgefallen, darüber habe ich mich dann gewundert, nämlich darüber, dass es bei den Gedankengebilden so gut geht, was in der Wirklichkeit nur annähernd geht. Und dann kann man sich noch einmal darüber wundern, dass sie alle durch den einen Punkt hindurch gehen.

# Genau, durch denselben einen Punkt gehen sie alle, wider alle Praxis, gegen alle Erfahrung.

* Eigentlich müssten sie da enden, weil ich denke, es geht nichts durch etwas durch, durch etwas, was vorhanden ist, kann man nicht durch.

# Darf ich Sie interpretieren: schon dass sich zwei Geraden kreuzen, gibts nicht, die rennen aufeinander, fertig.

* Das ist doch das Faszinierende, dass man es sich denken kann, dass das nichts ausmacht, das sind doch keine Dinge an sich, da kann man sich doch alles vorstellen.
- Nein, denken, vorstellen kann man es sich schon nicht mehr.

# Ich habe doch schon den Satz von Platon gesagt: Wir zeichnen und denken herum an Figuren, die wir in den Sand malen. Aber wir meinen diese Figuren gar nicht, sondern wir meinen gedachte Figuren, die diesen ähnlich sind. Ähnlich ist es nicht nur in der Geometrie, sondern überhaupt. Da steht es ja klipp und klar, es gibt keine Genauigkeit in der Realität.

* Aber denken, denken kann man doch einen Punkt, der unendlich klein ist, vorstellen sag ich nicht, vorstellen hört ja auf, also bei mir ziemlich schnell, aber denken kann ichs.

# Also ich kanns mir ganz gut denken, ich weiß aber nicht, was ich da eigentlich mache. Ich habe auch gefunden, dass Kinder ganz gut denken können. Sie wissen dann schon, wovon sie reden. Als ich unterrichtete, hab ich Kreise ganz schlampig gezeichnet. Und dann kam der Einwand, das sei doch kein Kreis, und dann hab ichs ein bisschen besser gemacht, aber immer noch schlecht, sehr schlecht, und wenn ich sag "dann machs doch besser", dann machen sie es auch besser, mit einem Strick oder Zirkel, und dann kommen sie allmählich dahinter. Und dann kann man ja sagen: "Stellt euch mal vor, den Kreis gibts nicht, den gibts nicht." Da gehn sie ganz schön mit. Ich habe aber schon Mathematikstudenten erlebt, die das nicht gekonnt haben. Es gibt einen Satz von Einstein, ich weiß nicht, ob ich ihn auswendig weiß: "Sofern die Figuren in der Geometrie genau sind, kommen sie in der Praxis nicht vor; sofern die Realitäten stimmen, sind sie nicht genau." (Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Realität.) Rényi sagt: "Dass unsere Figuren stimmen, genau stimmen, kommt nur daher, dass wir sie uns selbst gemacht haben" ...
Ich will ja nicht sagen, dass das eine Beispiel für die Geometrie genügt, aber ein paar, gründlich durchgesprochen, wäre besser als der ganze Hürdenlauf durch die verschiedenen Sätze, die es da gibt.
Es gibt die Meinung, dass ein gemeinsames Denken nicht möglich ist, das mag stimmen, aber das Denken anzuregen, das erfordert das Gespräch. Dass die Schule einen so kümmerlichen Erfolg hat, liegt eben daran, dass sie das Gespräch verhindert. Didaktik heißt da, die Probleme umgehen, manchmal unter den Tisch kehren.
Sie haben aber noch nicht gesagt, warum man sich da nicht mehr wundert. Und wenn Sie nichts sagen, muss ich halt vorlesen. Ernst Mach (Physiker, Philosoph, gestorben 1916) hat ein Buch geschrieben 'Die Mechanik in ihrer Entwicklung', da steht eine Unmasse drin, zum Beispiel dieser Satz: "Die Erkenntnis, dass das, was uns wunderbar erschienen ist, nicht wunderbarer ist als etwas anderes, das wir instinktiv kennen und für selbstverständlich halten". Also kurz gesagt, wir verstehen das Absonderliche als eine verkappte Selbstverständlichkeit, verkappt ist so, dass man nicht mehr durchschaut. Deswegen muss man die Kappe abnehmen und von Neuem anfangen. So hat jedes Beispiel, das wir berühren werden, diese Form. Das ist die Grundform der entstehenden Physik, so denkt man, immer auf diese Kausalität hin. Nichts was mich stört ist unlösbar, wenn ich mich nach etwas anderem umsehe, das selbstverständlich ist. Das ist so, wie wenn man einer unbekannten Figur auf der Straße begegnet, und wenn man nahe genug kommt, erkennt, dass es ein alter Bekannter ist.

Also das Schiff jetzt. Wie würden Sie als Lehrer das Problem darstellen (ein Schiff schwimmt, ein Sandkorn geht unter), wenn Sie feststellen, dass die Kinder sich nicht dafür interessieren? Manchmal sind sie ja dermaßen mit Kenntnissen ruiniert, dass man sie etwas aufscheuchen, verlocken muss. Man muss selbst erstaunt sein, wenn Sie bloß heucheln, sind Sie wirkungslos, ebenso, wenn Sie fortwährend exakt sprechen (ausgeschlossen, dass der etwas denkt!). Wenn Sie nicht wirklich erstaunt sind, auch über solche Alltäglichkeiten, dann können Sie nicht gut Lehrer sein.

* Ich denke, dass die Kinder einbezogen sein müssen, Bekanntes, von dem ich denke, es ist vorhanden, mit Neuem zu kombinieren.

# Ja, man muss etwas machen, das sie dazu bringt (schöpferisch tätig zu sein). Die Voraussetzung dazu ist eben das Staunen, das kann man nicht beibringen.

* Aber man kann ermutigen dazu.

# Vor allem erst mal das Phänomen zeigen.

* Am Anfang mit etwas anfangen, was Kinder kennen oder kennen könnten, was nicht wer weiß wie weit weg ist (zum Beispiel Schiffsreise, Angst, Schwimmer - Nichtschwimmer)
- Wer diese Erfahrung nicht hat, der kann nicht mitreden?
- Irgendeine Erfahrung hat doch jeder gesammelt.

# Ich könnte Ihnen eine Tonbandaufzeichnung zwischen Neun- bis Zehnjährigen vorlesen, der der Besuch des Hamburger Hafens vorausging. Danach kamen die erst drauf. Man könnte auch ein Modell nehmen, aus Stahl, und neben dem das berühmte Sandkorn. Die Frage ist doch, was ist das komische an der Angelegenheit, warum ich mich wundere, wenn ich den Panzerkreuzer mit dem Sandkorn vergleiche.

* Das Sandkorn ist leicht, das kann jeder hochheben, und das schwere Schiff, das zwanzig Leute nicht hochheben können, das schwimmt und das leichte Sandkorn geht unter.
- Ich glaube, man wundert sich, dass so etwas schweres wie das Schiff oben gehalten werden kann und das leichte Sandkorn nicht.
- Noch erstaunlicher dann, dass Wasser etwas halten kann.
- Ich finde, auch wenn man weiß, wie es ist, kann man sich noch wundern. Am dollsten ist, dass man in dieses schwere Eisenschiff noch etwas reinfüllt, Öl oder Kohle, es noch schwerer macht, und es schwimmt immer noch.
- Wenn man erst mal nur beobachtet, ist es egal, was ich weiß. Wenn Kinder berichten, was sie sehen, ist das eine ganz andere Ebene, sie schalten auf leer.

# Wenn man das unterrichtet, muss man seine eigenen Kenntnisse hinter einen Vorhang tun. Simone Weil sagt, die Haltung der Klasse: "Kopf leer und wach". Zeitweise vergessen, das ist das beste, was man mit seinen Kenntnissen tun kann. Das kann man nur im Gespräch tun mit solchen, die nichts wissen.

* Ich habe mal genau diese Frage einem vierzehnjährigen Schüler gestellt. Der hat mir gesagt, das ist die Wasserverdrängung, da wird mehr Wasser verdrängt als das Schiff wiegt. Darum schwimmt das Schiff? Ich wollte damit zeigen, dass in den Köpfen nicht noch gar nichts drin ist, womöglich stecken da schon halbwissenschaftliche Aussagen drin, aber verstanden ist es nicht.

# Das Wasser ist schuld, heimatvertrieben, das vertriebene Wasser ist schuld. Es gibt einen einzigen Versuch, der das widerlegt. Man füllt ein Gefäß randvoll mit Wasser. Wenn man da einen Stein reinsenkt, dann verdrängt er das Wasser, das läuft außen weg, es kann nichts mehr tun. So ist es nicht, dass das Wasser wieder reinwill, es ist ja fort.
Sie haben sich bis jetzt nur über das Schiff gewundert, nicht über das Sandkorn, das so schnell verschwindet. Ist das weniger schweres Material?

* Eigentlich finde ich es beim Sandkorn noch erstaunlicher. Beim Schiff, das ist Technik, da hat irgendeiner irgendeinen Trick gebraucht, dass es geht. Bei der Technik gibts alle möglichen Sachen, dass man sich wundert, das Sandkorn war aber immer schon da.
- Man kann das Sandkorn aber auch im Gegensatz zum Baumstamm sehen. Der geht auch nicht unter, kann ich nicht hochheben, hat aber keine Hohlräume, also kein Trick.

# Wir sind jetzt schon dabei, das Phänomen zu erweitern, zu variieren. Das ist durchaus gut. Eine Weile starrt man es an, starren Blickes. Man muss also etwas variieren. Das Stichwort dazu heißt "was gibts sonst noch? Kommt so etwas ähnliches noch vor?"
(Beispiele: Kokosnuss auf dem Wasser, Betonboot.)

# Also Kinder sagen, das weiß ich aus diesem Protokoll: Baumstämme können auch untergehen.

* Schiffe auch!

# Sie sagen, bevor sie untergehen, schwimmen sie deshalb, weil da Luft drin ist. In den Schiffen ist auch Luft drin, unter Deck. Luft geht nach oben, die Luft zieht. Jedenfalls können Sie das für eine geschlossene Bierflasche nehmen. Gegenversuch? Ist das Deck notwendig?

* Ein Kanu hat auch kein Verdeck.

# Sie haben schon angefangen, vom Wasser zu sprechen, das Wasser ist ja schuld, es ist anders als ein Tisch. Wenn ich hier eine geschlossene Bierflasche draufstelle, lässt er sie nicht rein, abgeschlossen, unzugänglich.

* Ein Ruderboot, das vollregnet, geht irgendwann unter.

# Dann ist die Luft doch wichtig, die in dem Boot sitzt. Wenn das Boot mit Luft gefüllt ist, dann schwimmt es, wenn es mit Wasser gefüllt ist, geht es unter. Was sagen Sie, wenn das jemand sagt?

* Das Boot muss aber nicht auf dem Grund liegen.

# ... es scheint so, massive Dinge gehen unter und hohle schwimmen.

* Wenn man ein ganz leichtes Plastikboot nimmt, Spielzeugboot, in dem keine Luft drin ist?

# Also falsch. Was sind das für Dinge, die schwimmen?

* Vielleicht kommt es auf die Form an, Material ist nicht ausschlaggebend. Eine Eisenplatte geht unter, ein Schiff schwimmt.
- Eine Nadel ist auch aus Eisen.

# Bei der Nadel handelt es sich nicht darum, dass sie klein ist wie ein Sandkorn, sondern dass sie offenbar vom Wasser anders behandelt wird, das sieht man an so 'ner kleinen Delle. Das ist eine Ausnahme vom Schwimmen.
Aber Sie haben gesagt, das kommt von der Form. Hängt das zusammen mit der Form?

* Ganz dolles Indiz, wenn man die Nadel spitz reinlegt, geht sie unter, flach schwimmt sie. Es ist dieselbe Nadel.
- Aber schwimmt die Nadel aus dem gleichen Grund wie das Schiff?
- Wenn ich ein spitzes Schiff nehme und lege es so ins Wasser, dann bleibt es nicht so im Wasser, sondern legt sich anders.
Wenn das Wasser nicht unterscheiden würde zwischen den Formen, müsste das Wasser auch bereit sein zu sagen "Schiff ist Schiff" ob ich es reintue so oder so. Und da wehrt sich ja das Wasser gegen.
- Normalerweise schwimmt eine Nadel nicht.
Es geht beim Baumstamm und beim Plastikboot nicht, nur bei der Nadel, dass sie schwimmt oder untergeht, je nachdem wie man sie reintut. Das ist was ganz anderes.
(Es kamen noch weitere Vorschläge, zum Beispiel eine Liste zu machen, bei der es auf die Form des Körpers [bei gleichem Material] ankommt, ob er schwimmt oder nicht. Körper, die in Flüssigkeit rauf und runter gehen, wurden erwähnt, zum Beispiel Schokolade in einem Glas Sekt. Auch wurde erwogen, den Versuch im Vakuum zu machen, um die Luft als Faktor auszuschalten. Selbst wenn das Wasser koche, könne ein Körper noch darauf schwimmen.

# Sammeln wir Faktoren, die mitspielen:
1. das Material
2. die Form
3. die Luft, das Wasser, die Umgebung sozusagen.
Was macht man da, um zu sehen, was welche Einflüsse hat und was das Entscheidende ist?

* Man verändert einen Faktor und lässt die anderen gleich.
- Man könnte auch die Wassermenge ändern, mal einen großen und mal einen kleinen.

# Die Wassermenge trägt es vielleicht, ein flaches Meer und ein tiefes Meer. Wenn die Stunde gut war, dann klumpt sich da vorne an der Tafel so eine Gesellschaft, die redet dann unter sich, nicht zu mir.