9. Juni 1986

Thema: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck

# Hannelore Eisenhauer (vertritt Martin Wagenschein)
* Seminarteilnehmer
- weitere Seminarteilnehmer in derselben Runde
() redaktionelle Kommentare

9.6.86

# Ich habe das mit einer Schülergruppe gemacht, so Dreizehn- bis Fünfzehnjährigen, und ich bin im Moment noch nicht ganz fertig damit. Wir könnten es vielleicht auch einmal einfach anfangen. Also ich hab hier

( Hans)
(Fritz)
zwei Plätze hingezeichnet, und das eine ist der Hans, und das andere ist der Fritz. Und die beiden, die möchten sich treffen, irgendwo. Und sie hätten nur eins wahnsinnig gern, dass jeder gleich weit um Treffpunkt hat. Es sind also so kleine Gerechtigkeitsfanatiker, keiner sollte einen Schritt mehr machen müssen als der andere. Und dann sollten wir uns halt mal überlegen: "Wo können die sich treffen, was gibt es da für Möglichkeiten?" Also einfach, wenn die zwei sich irgendwo treffen wollen und jeder sollte gleich viel Schritte machen.

* Hier (geht vor, zeigt die Mitte der Strecke)

# Gibt es noch mehr Möglichkeiten?

* Das ist hier, dass sie möglichst wenig Schritte machen. Aber es gibt ja die Möglichkeit, dass sie beide mehr Schritte machen.

- Da nimmt man den Zirkel zum Beispiel und macht zwei Kreise.
* Hans
* Fritz

- Den Kreis mit einem beliebigen Radius machen und wenn ich die beiden Kreismittelpunkte habe, und die beiden verbinde, habe ich eine Gerade.

# Was meinst du?

* Also der Kreisradius muss größer sein als die Hälfte des Abstands der Punkte. Und wenn ich jetzt hier einen Kreis rum schlage und hier so einen Kreis, dann haben wir diese beiden Schnittpunkte. Dann können wir sagen, dass auf der Verbindungsgeraden hier (verbindet die beiden Schnittpunkte mit einer Geraden) sich alle Punkte befinden, die den gleichen Abstand haben, also wenn man den gleichen Radius nimmt für die Kreise.

# Ich frag mal dumm: Warum?

* Also ich hätte es mal erst nur mit den beiden Schnittpunkten der Kreise erklärt. Ja, dass die beiden Schnittpunkte sind, der Kreis, der Kreisbogen hat ja immer gleichen Abstand, weil wir gleichen Radius haben.

- Ja, wenn wir die Hälfte nehmen, gibt es genau einen Berührungspunkt. Und je größer wir den Radius nehmen, um so weiter gehen die Schnittpunkte nach außen. Ja, ich weiß aber nicht, wie man das den Schülern... wenn man Kreise mit dem Radius und mit dem Radius macht.

- Die zwei Punkte sind klar, aber die Gerade ist nicht so ganz eindeutig. Die liegen auf einer Geraden, aber warum liegen sie auf einer Geraden?

- Weil der Radius immer gleich groß ist von den beiden Abständen, deswegen, meine ich, wenn wir das gleiche Verhältmis haben. Der Radius muss immer den gleichen Abstand (von den Punkten) haben, deswegen ist es immer der gleiche Abstand zu Hans und Fritz.

- Der Schnittpunkt ist klar. Aber wenn ich hier einen Kreis mache, dann ist das der Schnittpunkt. Und warum liegt der auf einer Geraden?

- Das heißt, du meinst, wenn ich den Kreis größer mache, liegt der Schnittpunkt weiter draußen.

- Wenn hier der Schnittpunkt ist, dann ist doch logisch, dass der auf einer Geraden liegt
* H
M +
* F
Sowohl Hans als auch Fritz können bis zum Mittelpunkt ihrer Verbindungsgeraden gehen. Wenn sie sich dann im rechten Winkel dazu wegbewegen, dann laufen sie ja beide gleich weit auf einer Geraden. Die würden natürlich nicht erst zum Mittelpunkt laufen und dann weiter raus. Die würden ja so schräg gehen. Hans und er (Fritz) auch, und das müssen ja zwei gleiche Dreiecke sein. Ob sie nun so und so gehen (erst nach M und dann nach A) oder so schräg rüber gehn (gleich nach A), es sind zwei gleiche Dreiecke, denn diese Strecken (Hans zu M und M zu A) sind ja auch gleich lang.

# Oder ein gleichschenkliges großes Dreieck?

* Nein, die Schenkel müssen nicht gleich sein (bezieht es auf das kleine Dreieck), die Strecke von hier (Hans oder Fritz) bis zu dem Punkt in der Mitte, die ist ja bei beiden gleich, und wenn der Treffpunkt jetzt auf der Geraden hier (A) ist, muss auch FA und HA gleich sein, weil das Dreieck ist ja durch die beiden Seiten und den Winkel vollständig bestimmt. Also ist das und das auch gleich. Wenn man jetzt nicht im rechten Winkel von dem Punkt (M) weggeht, sondern schief, dann ist klar, dass der Hans dann zu diesem Punkt näher hat als der Fritz zu diesem Punkt.
* H
M +
* F

- Und wenn das ein rechter Winkel sein muss, liegen all diese Treffpunkte auf einer Geraden.

- Eine völlig andere Möglichkeit wäre doch, einfach zu probieren, ob es auch anders möglich wäre. Wenn der Punkt nicht auf dieser Geraden liegt, ich kann das ausprobieren, beispielsweise wenn ich hier zwei Schnüre nehme, die Entfernung vorgebe und dann versuche, in die Spitze einen Pflock zu setzen. Unter Vorgabe der Fadenlänge, dass beide Schenkel gespannt sind, ihn irgendwo anders hinstellen als auf die Gerade. Ich glaube, das wäre im Prinzip auszuprobieren. Das wäre auch im Sinne, etwas selbst zu finden, manuell etwas zu tun.

# Also den Hans an einen Strick zu legen und den Fritz an einen Strick zu legen und jedem den Strick gleich lang zu machen?

* Ja, und die Stricke aber vorne zusammenmachen, in ein Stück. Und jetzt versuchen. Und jetzt versuchen, ohne dass die Entfernung festgelegt ist, ein gleichschenkliges Dreieck zu machen.

# Ach so, ich habe das jetzt anders verstanden. Ich habe gedacht, der Hans kommt an eine Leine und der Fritz kommt an eine Leine. Und die Leine ist gleich lang und wo treffen sie sich?
* H
M +
* F

* Ich kann praktisch irgendeine beliebige Entfernung vorgeben, ja, jeweils ein Stück von dieser Länge. Hier, einen Pflock einspannen, und jetzt so spannen, dass beide gleich lange Faden gespannt sind. Also die Spitze lässt sich praktisch nicht mehr innerhalb des Fadens verschieben, sonst kämen wir zu solchen (schiefen) Dreiecken. Aber dadurch, dass die immer gleich lang sind, kann sie immer wieder nur auf diese Gerade draufkommen. Sonst sind nie beide Fäden gleich lang gespannt

- Das ist im Prinzip doch das gleichschenklige Dreieck.

- Damit ist aber nicht gesagt, warum das so sein muss, nur, dass es so ist. Wir sind jetzt hier bei derselben Situation: Warum muss das so sein?

- Es wäre natürlich jetzt Unfug, wenn man sich so unvoreingenommen wundern könnte. Das ist natürlich ein großer Zufall.

- Aber so, wie ich Herrn Wagenschein verstanden habe, sieht er allgemein darauf, dass er ein Problem stellt,dass die Leute sich wundern. dass das Wundern eben im Mittelpunkt steht. So wie hier.

(Band war ganz undeutlich, wir haben: Die Punkte liegen auf einer Geraden, aber man wundert sich über die Gerade, obwohl(?) sie logisch ist.)

# Und jetzt ist der Fritz noch mit dem Franz befreundet und die Freundschaft
Hans
*
*
Fritz
*
Franz
steht unter den gleichen Bedingungen. Wir treffen uns, und wir haben immer gleich weit.

* Dann können sich ja alle drei an einem Platz treffen.

# Fritz und Franz wollen sich treffen, auch beide immer gleich weit.

* Das geht doch für alle drei.

# Erst einmal nur Fritz und Franz.

* Dann mache ich das Gleiche und dann treffen sich alle drei.

- Dann mache ich drei Kreise.

- Erst mal Fritz und Hans und dann Fritz und Franz und im Schnittpunkt treffen sich alle drei, das ist doch klar.

- Und wenn Fritz und Franz den gleichen Abstand haben und Fritz und Hans den gleichen Abstand haben, dann müssen auch Franz und Hans den gleichen Abstand haben. Also alle...

# Ist das so ganz klar? Eigene Erfahrung: Wenn ich so ein Dreieck zeichne, bei mir gehn die drei Linien nie durch einen Punkt. Ich habe da ewig in der Mitte noch ein Dreieckchen.

* Deswegen mache ich auch die dritte nie dazu, wenn zwei habe, dann ist es doch gefunden.

- Ja, wenn man das den Schülern als Zeichenaufgabe stellt, nach meiner Erfahrung, sogar aus meiner eigenen Schulzeit, konstruieren die Schüler so gute Zeichnungen, es muss gehen. Ich kann mich noch genau an die Schule erinnern, in meiner Schulzeit, da wollte der Lehrer uns verunsichern, die Schüler sagten alle: "Es geht durch einen Punkt." Und ich war der einzige in der Klasse, weil ich schlecht zeichnen konnte, bei dem sie nicht durch einen Punkt gingen. Ich war ganz stolz, weil der Lehrer immer das Gegenteil wollte. Aber die meisten haben es richtig gemacht.

- Und wahrscheinlich, weil sie wussten, dass es ja durch einen Punkt gehen muss...

- Ich bin froh, dass ich genau weiß, was herauskommen muss und genau weiß, was ich tun muss.

- Mathematik ist ja so, dass ich weiß, das ist vorhanden, dass es genau so eintrifft, wie ich vorausgesagt habe.

# Ja, ist das bereits so selbstverständlich, dass die durch einen Punkt gehen? muss das so sein?

* Ja, es stellt sich die Frage, können Hans und Franz auch Freunde sein?

- Interessant ist, dass der Treffpunkt außerhalb des Dreiecks ist.

# Ja, haben wir denn schon ein Dreieck?

* Wenn wir die Linien ziehen zwischen Fritz, Hans und Franz.

- Wenn man davon ausgeht, dass der Treffpunkt in dem Breich ist, den diese Linien einschließen, das ist normal, aber die treffen sich gerade außerhalb des Berechs. Man erwartet doch, dass die innerhalb des Dreiecks irgendwo zur Mitte gehen.

- Aber wir haben uns ja nicht auf den kürzesten Weg geeinigt, nur auf einen Treffpunkt.

# Die Bedingung war nur, dass Fritz und Franz immer gleich weit haben wollen und Fritz und Hans. Hans und Franz haben haben gar nicht unbedingt etwas miteinander zu tun.

* Ja, dann ist es auch egal, dann treffen die sich jedesmal auf den beiden Geraden, dann können die sich auch ganz woanders treffen.
Hans
*
+
*
Fritz
+
*
Franz

# Und dann gibt's plötzlich einen Punkt, da stellt sich raus, dass Hans und Franz scheint's doch etwas miteinander zu tun haben. Aber nur in dem einen Punkt?

* In einem sind alle drei, dann gibt's aber auch noch eine Gerade von Hans und Franz. Überall können die sich auch so treffen.

- Das Erstaunliche ist ja, dass da zwei Leute sich treffen können und auch drei Leute.

- Wenn Fritz und Hans sich treffen und Fritz und Franz sich treffen, dass trotzdem es komischerweise einen Punkt gibt, wo Hans und Franz sich auch treffen könnten. Also trifft Fritz sich mit Hans und Franz zu zwei verschiedenen Zeitpunkten oder ertrifft sich mit beiden zu einem Zeitpunkt. Also er trifft sich mit Hans auf der Geraden und mit Franz auf der Geraden. Auf einmal treffen sich alle drei zu einem Zeitpunkt, ist der Fritz dann doppelt da?

- Nee, aber du kannst dir doch vorstellen, du hast dich verabredet mit Franz und Hans, wo überall man sich treffen könnte, zufällig, ganz zufällig gibt's dann...

- Dann muss ich auch noch überlegen, befreundet oder nicht, das ist doch

ganz klar, mathematisch, aber das mit dem Beispiel...

# Ja, vielleicht kann man es auch anders ausdrücken. Mir fiel das ein. Vielleicht fällt euch dann was besseres ein. Etwas, das Schüler wirklich interessiert, zum Nachdenken bringt.

* dass zwei Strecken gleich lang sind, das sehe doch auch so ein. Da brauche ich doch keine Beispiele.

# Hast du eine Idee, wie man es sonst schmackhaft machen könnte?

* Nee, schmackhaft ist das nicht (schallendes Gelächter reihum), ich gehe jetzt nur von meinen Vorlieben aus, nicht von denen der Schüler.

# Ja, jetzt mal unter uns gefragt: Wir haben den Schnittpunkt. Aber wie können wir den Schülern klarmachen, dass das ganz sicher ist, was können wir da erhoffen, erwarten, was sie uns sagen?

* Ich zeig's nochmal an der Tafel. Wenn Hans und Fritz sich hier treffen, haben beide gleich viel zu laufen. Fritz und Franz haben immer beide gleich viel zu laufen, also daraus folgt, dass Hans und Franz auch gleich viel zum Treffpunkt zu laufen haben.

# Meinst du, das sehen die Schüler gleich?

* Ich könnte mir schon denken, dass da jetzt Fragen kommen: "Ja, wo bleiben jetzt die beiden?"

- Nein, die beiden stehen in ganz anderer Position und zueinander.

- Wo treffen die sich, an einer zentralen Stelle?

- Ja, das geht aber nur alles, wenn die nicht auf einer Linie sitzen
* Hans
* Fritz
* Franz
Fritz hat dann mit beiden zu tun, aber Hans und Franz haben nichts miteinander zu tun.

# Gibt's dann auch eine Möglichkeit für alle drei, alle gleich weit?

* Ja, wenn Berge dazwischen sind.

- Wir suchen jetzt einmal einen Treffpunkt, und der soll so liegen, dass alle drei möglichst wenig laufen. dass die Summe der Wege möglichst gering ist.

- Die haben zum Beispiel Mopeds und wollen möglichst wenig Benzin verbrauchen.

# Du meinst, dass sie verschieden weit gehen?

* Ja, das ist egal, entweder läuft Hans den ganzen Weg oder Franz den ganzen Weg.

- Na ja, die treffen sich bei Fritz.

( Band ist unverständlich, irgendwie wird das Problem jetzt auf vier Leute erweitert, man stellt fest, dass ein Streckenstück doppelt "überlaufen" wird.)

# Aber gehen wir mal zurück zu unserem Dreieck, zu dem Treffpunkt. Was ist denn daran erstaunlich? Oder ist das gar nicht erstaunlich, dass die sich in einem Punkt treffen können?

* Erstaunlich ist, dass es bei dreien geht, und bei vier, fünf, sechs auch.

- Wieso soll es bei sechsen gehen? Bei vieren geht es schon nicht immer. - Bei vier muss es nicht unbedingt möglich sein, dass alle gleich weit haben. Es ist ja schon bei dreien in einer geraden Linie nicht möglich. - Der vierte muss dann im Prinzip auf dem Kreis wohnen, der Hans, Fritz und Franz umgibt, denn es bleibt ja dabei, wenn es vier oder fünf oder sechs gibt, die müssen alle auf dem Kreis wohnen...

# Also ich habe es mit einem Anfängerkurs in Geometrie gemacht, die hatten überhaupt keine Vorkenntnisse. Den rechten Winkel hatten sie, wussten, wie man ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert. Wir machten nur Freihandzeichnungen.

* Also die Aufgabe lautete: "Fritz und Hans sollen sich treffen im gleichen Abstand"?

- Auf die Gerade sind sie gekommen?

# Ja, auf die Gerade sind sie gekommen... Aber so von Kreisen und Mittelpunkten, davon wissen sie nichts.

* Wir haben ja das Gleiche gemacht, nur eine Stufe höher, der Kreis misst ja auch einen Abstand.

# Also damit können sie noch nichts anfangen. Und sie sind so weit, dass sie wissen -speziell, da Bleistiftspitzer oft nicht vorhanden sind und Lineale oft zu wünschen übrig lassen- unsere Zeichnungen sind nur "unsere Skizzen zum Nachdenken". Wenn ich von etwas behaupte, dass es so ist, dann kommt es überhaupt nicht auf die Zeichnung an. Sonst wäre ein dauerndes Grabschen nach Spitzern, Linealen und so weiter üblich und es gäbe Reden über genaue und ungenaue Zeichnungen.

* Aber die Schule soll doch auch diese Fähigkeit fördern

# Das kommt auch, aber nicht bei solchen Überlegungen.

# Natürlich können die es auch, wenn es verlangt wird.

* Dann haben die Dreiecke gemacht und festgestellt, dass die gleichen Entfernungen zu den Eckpunkten immer auf einer geraden liegen?

# Ja.

* Dann kennen die auch das gleichschenklige Dreieck?

# Ja.
Mit Kreisbögen und Abständen vom Mittelpunkt zur Peripherie und so weiter haben wir noch nicht gearbeitet.

* Habt ihr dann die Gerade (auf der die Abstände liegen) als Höhe in dem gleichschenkligen Dreieck gedeutet?

# Die Höhe ist noch nicht da.

* Ja, irgendwie müsst ihr die doch benannt haben!

# Die Linie in der Mitte von den Punkten.
Aber könnte man dann zum Treffpunkt kommen, ohne die Kreise und ohne all die anderen feinen Sachen?

* Also ein Treffpunkt muss doch gehen
Hans
*
M +
*
Fritz
+
*
Franz
also hier überall können sie sich treffen (Mittelsenkrechte)

- Ja, aber dann musst du erst mal begründen, warum du nach dem ersten Treffpunkt im rechten Winkel losgehst.

- Du musst sagen: "Die müssen gleich weit gehen, deswegen müssen die beiden Winkel, unter denen sie auf die Gerade losgehen, auch gleich groß sein." Wenn die Winkel nicht gleich groß sind, sind auch die Entfernungen verschieden... Der Fritz muss bis zu dem Punkt gehen, um sich mit Hans und Franz zu treffen, also müssen Hans und Franz genau so weit gehen wie Fritz, also treffen sie sich da auch im gleichen Abstand. Es bleibt sich doch gleich,

- Es ist auch ein schönes Beispiel, dass es so schön aufgeht.